【三角函数角度公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了方便计算和应用，人们总结了许多常见的三角函数角度公式。这些公式可以帮助我们快速求解角度的三角函数值，或进行角度之间的转换。
以下是一些常用的三角函数角度公式，包括基本公式、诱导公式、和差角公式、倍角公式以及半角公式等，以文字说明加表格的形式呈现，便于查阅和理解。
一、基本公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
二、诱导公式（用于角度的转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
三、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
四、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
五、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
六、特殊角度的三角函数值
| 角度（弧度） | $ \sin\theta $ | $ \cos\theta $ | $ \tan\theta $ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | 不存在 |
总结
三角函数角度公式是解决与角度相关的数学问题的基础工具。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。无论是考试复习还是实际应用，熟悉这些公式都是必不可少的。通过结合文字说明与表格形式，可以更清晰地整理和记忆相关知识，避免混淆和错误。