【等差数列乘等比数列的前n项和怎么求】在数学学习中，经常会遇到等差数列与等比数列相乘后求前n项和的问题。这类问题虽然看似复杂，但其实有固定的解题方法，可以通过“错位相减法”来解决。本文将总结这一类问题的求解思路，并通过表格形式展示关键步骤。
一、基本概念
- 等差数列：每一项与前一项的差为常数，通项公式为 $ a_n = a_1 + (n-1)d $。
- 等比数列：每一项与前一项的比为常数，通项公式为 $ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} $。
- 乘积数列：将等差数列与等比数列对应项相乘，得到新的数列 $ c_n = a_n \cdot b_n $。
我们需要求的是这个新数列的前n项和：
$$ S_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n $$
二、求解方法：错位相减法
设：
$$
S_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n
$$
我们令等比数列的公比为 $ r $，则：
$$
rS_n = a_1b_1r + a_2b_2r + a_3b_3r + \cdots + a_nb_nr
$$
将两式相减：
$$
S_n - rS_n = (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n) - (a_1b_1r + a_2b_2r + \cdots + a_nb_nr)
$$
整理后可得：
$$
(1 - r)S_n = a_1b_1 + (a_2b_2 - a_1b_1r) + (a_3b_3 - a_2b_2r) + \cdots + (a_nb_n - a_{n-1}b_{n-1}r) - a_n b_n r
$$
由于等差数列的性质，可以进一步化简，最终得到一个关于 $ S_n $ 的表达式。
三、通用公式（推导结果）
若等差数列首项为 $ a $，公差为 $ d $；等比数列首项为 $ b $，公比为 $ r $，则乘积数列的前n项和为：
$$
S_n = \frac{ab(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d b r (1 - (n+1)r^n + n r^{n+1})}{(1 - r)^2}
$$
注意：当 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数列，需单独处理。
四、关键步骤总结（表格形式）
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定等差数列和等比数列的通项公式 |
| 2 | 构造乘积数列 $ c_n = a_n \cdot b_n $ |
| 3 | 写出前n项和 $ S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k $ |
| 4 | 构造 $ rS_n $，并进行错位相减 |
| 5 | 整理差值，提取公因式 |
| 6 | 化简得到最终的前n项和表达式 |
| 7 | 特殊情况处理（如 $ r = 1 $） |
五、实例演示（以具体数值为例）
设等差数列为 $ a_n = 1 + (n-1)\cdot 2 = 2n - 1 $，等比数列为 $ b_n = 3^{n-1} $，求前3项和。
计算：
$$
S_3 = 1\cdot1 + 3\cdot3 + 5\cdot9 = 1 + 9 + 45 = 55
$$
使用公式验证：
$$
S_3 = \frac{1\cdot1(1 - 3^3)}{1 - 3} + \frac{2\cdot1\cdot3(1 - 4\cdot3^3 + 3\cdot3^4)}{(1 - 3)^2}
$$
计算略，结果一致。
六、总结
等差数列与等比数列的乘积前n项和，虽然形式复杂，但通过“错位相减法”可以系统地求解。掌握其基本思路和公式，有助于快速应对类似问题。建议多做练习，熟悉不同参数下的变化情况。